كتابة و حساب التعبيرات
في الأقسام السابقة تدربنا على العمليات الحسابية الأربعة: الجمع، الطرح، الضرب و القسمة.
في هذا القسم سندرس كيف يمكننا كتابة التعبيرات باستخدام تلك العمليات الحسابية الأربعة و كيف يمكننا حساب قيم هذه التعبيرات.
كتابة التعبيرات
إذا كنا في سوق ما و نريد حساب تكلفة السلع (البضائع) التي نريد شراؤها، حينئذ يمكننا كتابة تعبير رياضي لها. رياضي يعني متعلق بالرياضيات.
على سبيل المثال إذا فكرنا في شراء ثلاث سلع و كانت تكلفتها 20 كرونة, 18 كرونة و 12 كرونة، حينئذ يمكننا كتابة تعبير السعر الإجمالي للسلع كما يلي.
\(12+18+20\)
يحتوي التعبير أعلاه على عملية الجمع فقط و لكن يمكننا أيضا كتابة تعبير يحتوي على الطرح، الضرب و القسمة. يمكن كتابة مثال لتعبير يحتوي على العمليات الأربعة كما يلي:
\(6-\frac{4}{5}+3×2\)
احسب قيمة التعبير
بينما هو من الجيد كتابة التعبيرات الرياضية، يجب علينا أيضا حساب قيمة هذه التعبيرات. لذا سنحتاج إلى تحديد كيفية حساب قيم التعبير، بحيث يمكن لشخصين مختلفين تفسير التعبير بطرق متشابهة دون سوء فهم.
كتبنا في السابق تعبيراً لسعر ثلاث سلع في متجر ما:
\(12+18+20\)
كيف نحسب قيمة هذا التعبير؟ يمكننا القيام بذلك بطرق مختلفة و الحصول على نفس النتيجة. على سبيل المثال نقوم أولا بجمع الحدين الأولين (20 و 18) ثم نضيف الحد المتبقي (18). لنحصل على ما يلي:
\(=12+18+20\)
\(50=12+38=\)
يمكننا أيضا أن نجمع الحدين الأخيرين (18 و 12) ثم نضيف الحد الأول (20). لنحصل على ما يلي:
\(=12+18+20\)
\(50=30+20=\)
في هذا المثال لا يهم ترتيب جمع الحدود. سيظل المجموع هو نفسه.
ولكن في بعض الأحيان يلعب الترتيب الذي نحسب به التعبيرات دورا كبيرا. سنقوم الآن بدراسة هذا التعبيرات، حيث يلعب ترتيب العمليات الحسابية دورا كبيرا.
إذا أردنا شراء علبة عصير برتقال بسعر 12 كرونة و ثلاث علب حليب بسعر 7 كرونات للعلبة، يمكننا كتابة تعبير التكلفة الكاملة لهذه السلع معا كما يلي:
\(7×3+12\)
يمكننا تفسير هذا التعبير الرياضي كـ 12 كرونة لعصير البرتقال، زائد 3 ضرب 7 كرونات للحليب.
كيف نحسب قيمة هذا التعبير الذي يحتوي على عمليتي الجمع و الضرب معا؟
إذا أجرينا عملية الجمع أولا بحيث نجمع الحدود الأولى 12 و 3, ثم نضرب المجموع الذي حصلنا عليه في العامل 7 سنحصل على ما يلي:
\(15=3+12\)
\(105=7×15\)
هذه الحسابات الفرعية تبدو صحيحة بصورة منفصلة و لكن سعر السلع ليس 105 كرونة. هذه التكلفة كثيرة جدا! هذا خطأ، و بدلا من ذلك يمكن كتابة هذا التعبير كمجموع أربع حدود (علبة عصير البرتقال و ثلاث علب حليب) كما يلي:
\(33=7+7+7+12\)
بالتالي سيكون السعر 33 كرونة و ليس 105 كرونة ما يعني وجود خطأ ما.
إذا أجرينا بدلا من ذلك عملية الضرب اولا بحيث نقوم بضرب العوامل 3 و7 في بعضهما، ثم نجمع حاصل الضرب الذي حصلنا عليه مع الحد 12. في هذه الحالة نحسب التعبير كما يلي:
\(21=7×3\)
\(33=21+12\)
عندما حسبنا بهذه الطريقة كانت الإجابة هي ما نبحث عنه تماما: الإجمالي هو 33 كرونة لعلبة عصير البرتقال و علب الحليب الثلاث.
كان هذا مثالاً على أهمية ترتيب اجراء العمليات الحسابية. عندما يكون لدينا تعبير رياضي نريد حسابه يجب علينا أن نقوم بإجراء عمليتي الضرب و القسمة أولا ثم الجمع و الطرح ثانيا. هذا هو ترتيب العمليات الأربعة الذي سنستخدمه.
اما في حالة إذا أردنا اجراء الجمع أو الطرح قبل أن نقوم بالضرب أو القسمة، ينبغي أن تكون هنالك امكانية لوضع قوسين في التعبير لنفهم أنه يجب علينا أولا إجراء الجمع أو الطرح. إذا أردنا على سبيل المثال أن تكون
\(7×3+12\)
مساوية لـ 105 يجب علينا استخدام قوسين ليصبح التعبير قابل للجمع أولا. بدلا من التعبير الرياضي أعلاه سيكون كما يلي:
\(7×(3+12)\)
لحساب قيمة هذا التعبير نقوم أولا بحساب قيمة التعبير بين القوسين (12 + 3). ثم نضرب هذه القيمة في العامل 7 كما يلي
\(105=7×15=7×(3+12)\)
ترتيب العمليات الحسابية
لحساب قيمة تعبير رياضي معين، نقوم بإجراء الحسابات بالترتيب التالي:
1) حساب ما بين الأقواس
2) الضرب و القسمة
3) الجمع و الطرح
بإجراء العمليات بهذا الترتيب سنحصل على القيمة الصحيحة عند حساب تعبير رياضي معين.
يسمى ترتيب العمليات في بعض الأحيان بترتيب الأولويات أو قواعد الأولويات
احسب هذا التعبير
\(\frac{12}{(2-4)}+2×5\)
التعبير يحتوي على قوسين، لذا وفقا لترتيب العمليات سنقوم بحساب قيمة التعبير الموجود بين القوسين أولا. نحسب قيمة التعبير في القوسين كما يلي
\(2=2-4\)
ويمكن استبدال القوسين بهذه القيمة في التعبير ليصبح
\(=\frac{12}{(2-4)}+2×5\)
\(\frac{12}{2}+2×5=\)
الآن لا توجد أقواس أخرى في التعبير، لذا سنقوم بإجراء عمليتي الضرب و القسمة. التعبير يحتوي على حاصل ضرب و خارج قسمة, لذا سنحسبهم:
\(10=2×5\)
\(6=\frac{12}{2}\)
نضع هذه النتائج الجزئية في التعبير لنحصل على ما يلي
\(6+10=\frac{12}{2}+2×5=\)
الآن أصبح التعبير عبارة عن مجموع حدين فقط، لنحسب هذا المجمع:
\(16=6+10\)
الآن وصلنا إلى أن:
\(16=\frac{12}{(2-4)}+2×5\)