Säker vinst

Spelbolag A respektive spelbolag B har satt följande odds inför tennismatchen mellan Roger Federer och Robin Söderling. 1 = vinst för Federer och 2 = vinst för Söderling.

Spelbolag A: 1. 1,5 ggr pengarna, 2. 2,75 ggr pengarna

Spelbolag B: 1. 1,4 ggr pengarna, 2. 3,3 ggr pengarna

Ett odds på 1,5 ggr pengarna innebär att om du satsar 10 kr, blir vinsten 1,5 ∙ 10 = 15 kr ifall det blir rätt utfall i matchen. Nettovinsten blir alltså vinsten - insatsen = 15 - 10 = 5 kr.

Utifrån de odds som är satta finns möjlighet att gå med säker vinst oavsett vem som vinner matchen genom att satsa pengar i en viss kombination. Hur mycket pengar ska satsas till vilka odds ifall man vill få en säker nettovinst på 10 kr oavsett vem som vinner matchen?

Kommentar: Denna typ av situation kallas för arbitrage och uppkommer sällan eftersom spelbolagen hela tiden jämför sina odds med konkurrenterna och då snabbt ändrar oddsen.

Lösning:

Vi inför beteckningarna a₁ = 1,5, a₂ = 2,75, b₁ = 1,4, b₂ = 3,3 för oddsen.

Vi noterar att spelbolag A erbjuder bättre odds på vinst för Federer än vad spelbolag B gör (1,5 gånger pengarna jämfört med 1,4 gånger pengarna). På motsvarande sätt ser vi att spelbolag B erbjuder bättre odds på vinst för Söderling än vad spelbolag A gör (3,3 gånger pengarna jämfört med 2,75 gånger pengarna).

Därför är det oddsen a1 och b2 som vi bör satsa pengar på, det vill säga att vi hos spelbolag A satsar på vinst för Federer och hos spelbolag B satsar på vinst för Söderling.

Vi satsar x kr till oddset a₁ och y kr till oddset b₂. Totala satsningen blir då x+y kr.

Nu kan vi ställa upp två ekvationer för att räkna ut x och y.

Ekvationer:

Vinst ifall Federer vinner - total insats = 10 kr (I)

Vinst ifall Söderling vinner - total insats = 10 kr (II)

$$\\a_{1}\cdot x-(x+y)=10\\\\ b_{2}\cdot y-(x+y)=10$$

Vi sätter in värdena på a₁ respektive b₂.

$$\\1,5\cdot x-(x+y)=10\\\\ 3,3\cdot y-(x+y)=10\\\\ 0,5x-y=10\\\\ y=0,5x-10$$

Vi sätter in uttrycket för y i ekvation (II).

$$\\3,3\cdot (0,5x-10)-(x+0,5x-10)=10\\\\ 1,65x-33-1,5x+10=10\\\\ 0,15x=33\\\\ x=\frac{33}{0,15}=220\\\\ y=0,5x-10=0,5\cdot 220-10=110-10=100$$

För att säkert vinna 10 kr oavsett utfall ska vi satsa 220 kr på vinst för Federer till oddset hos spelbolag A och 100 kr på vinst för Söderling till oddset hos spelbolag B.

Tack Tomas Torstensson för uppgiften.